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대부분이다(그림 1). 원래 맨홀은 지하에 묻어 놓은 하수관이나 오수관 따위의
시설물을 점검하거나 청소를 할 때 사람이 드나들 수 있도록 만든 구멍이다.
그렇다면 맨홀의 뚜껑모양을 정사각형이나 정육각형으로 만들어도 될 것이다.
실제로 용도나 목적에 따라 맨홀의 뚜껑모양은 다양할 수 있다(그림 2). 그런데
나라를 불문하고 지역을 불문하고 맨홀의 뚜껑모양은 원형이 많다. 그 이유가 뭘까
관찰하고 추측하기
1. 두꺼운 종이로 정사각형 모양의 맨홀 뚜껑을 만들어 실험해보자. 같은 크기의
정사각형 모양 6개를 오려낸다. 이 중 5개를 투명테이프로 연결하여 뚜껑이 없는
정육면체 모양을 만들자. 나머지 1개의 정사각형 모양을 뚜껑이라고 생각하여
덮으면 맨홀모형이 된다. 이제 맨홀의 뚜껑을 닫았다가 열어야 될 경우를
가정해보자. 실수로 맨홀 뚜껑이 대각선 방향으로 세워 질 경우 뚜껑이 맨홀
안으로 빠지는 것을 알 수 있다. 그 이유는 정사각형의 대각선길이가 정사각형의
한 변보다 더 길기 때문이다. 수학적으로 계산하면 정사각형의 대각선의 길이는
정사각형의 한 변의 길이보다 약 1.414배이다(그림 3).
2. 만약 맨홀의 뚜껑 모양을 정오각형, 정육각형, 정칠각형, …… 등으로 만들면
어떻게 될까 어느 경우나 한 변의 길이보다 더 긴 대각선이 있게 되어 맨홀 안으로
뚜껑이 빠지는 경우가 생긴다. 그렇다면 대각선이 없는 정삼각형 모양으로 맨홀
뚜껑을 만들면 어떨까 물론 이 경우도 맨홀 안으로 빠지는 경우가 생긴다. 실제로
정삼각형 모양을 만들어 실험하면 그 이유를 쉽게 알 수 있다. 실제 실험으로
발견의 기쁨을 누려보라.
조금 더 생각하기
1. 굴러가는 바퀴의 모양은 대부분이 원이다. 바퀴 위의 각 점에서 바퀴의
중심까지의 거리(반지름)가 같고 중심을 축으로 바퀴를 회전시킬 때 원 모양이
가장 잘 굴러가기 때문이다. 원 위의 임의의 두 점을 연결하여 선분을 만들 때 이
선분이 원의 중심을 지나면 어느 경우나 원의 지름이 된다(그림 4). 그래서 맨홀
뚜껑을 원형으로 만들면 뚜껑을 세우더라도 뚜껑이 맨홀 안으로 빠지지 않게 된다.
주의할 점은 맨홀 구멍의 지름을 그 뚜껑의 지름보다 약간 작게 만들어야 한다.
2. 둘레의 길이가 일정한 평면 도형 중 넓이가 가장 큰 도형은 뭘까
짐작했겠지만, 원이다. 실을 이용하여 근사적으로 확인할 수 있다. 길이가 일정한
실로 정삼각형, 정사각형, 원 모양을 만들어 그 안에 구슬을 배열해 보자.
정삼각형 모양의 경우 28개의 구슬이, 정사각형 모양의 경우 35개의 구슬이,
원모양의 경우 40개의 구슬이 들어감을 알 수 있다(그림 5, 6, 7). 보다 엄밀한
수학적 증명은 1902년 허위츠(Hurwitz)에 의해 처음으로 증명되었다.
김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr
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